Kompetenzmodell und Standards für Mathematik in der Sekundarstufe 1

1. Ein Modell für mathematische Kompetenzen

Unter Kompetenzen werden hier längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten verstanden, die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben, sowie die damit verbundene Bereitschaft, diese Fähigkeiten und Fertigkeiten einzusetzen.

Der Erwerb und die Verfügbarkeit kognitiver Kompetenzen bedarf allerdings der Erweiterung und Ergänzung durch Selbst- und Sozialkompetenz.

Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten, auf mathematische Inhalte sowie auf die Art und Komplexität der erforderlichen kognitiven Prozesse.

Mathematische Kompetenzen haben somit eine Handlungsdimension (auf welche Art von Tätigkeit sie sich beziehen, also was getan wird), eine Inhaltsdimension (auf welche Inhalte sie sich beziehen, also womit etwas getan wird) und eine Komplexitätsdimension (bezogen auf die Art und den Grad der Vernetzungen).

Für jede Dimension mathematischer Kompetenzen sind unterschiedliche Bereiche vorstellbar: Unterschiedliche mathematische Handlungen, unterschiedliche mathematische Inhalte sowie unterschiedliche Arten und Grade der Komplexität. Im hier verwendeten Modell mathematischer Kompetenzen werden „verwandte“ Handlungen zu Handlungsbereichen (H1, H2, …), „verwandte“ Inhalte zu Inhaltsbereichen (I1, I2, …) und „verwandte“ Arten bzw. Grade von Vernetzungen zu Komplexitätsbereichen (K1, K2,…) zusammengefasst:

Je nach Altersstufe und Schulart stehen dann besondere Handlungs- und Inhaltsbereiche im Vordergrund und werden bei der Formulierung der Standards entsprechend präzisiert. Dabei sind die Standards der verschiedenen Schulstufen (Grundschule, Sekundarstufe I und Sekundarstufe II) aufeinander aufbauend zu sehen. Das heißt, die Standards der Sekundarstufe I drücken auch Erwartungen für die Sekundarstufe II aus.

Im vorliegenden Modell wurden für die Sekundarstufe 1 in den 3 Dimensionen folgende Bereiche (Ausprägungen) beschrieben:

Bereiche der Handlungsdimension:

H1:    Darstellen, Modellbilden

H2:    Rechnen, Operieren

H3:    Interpretieren

H4:    Argumentieren, Begründen

Bereiche der Inhaltsdimension:

I1:     Zahlen und Maße

I2:     Variable, funktionale Abhängigkeiten

I3:     Figuren und Körper

I4:     Statistik

Bereiche der Komplexitätsdimension:

K1:    Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten

K2:    Herstellen von Verbindungen

K3:    Einsetzen von Reflexionswissen; Reflektieren

Eine spezifische mathematische Kompetenz in dem hier verwendeten Sinne wird also charakterisiert durch eine bestimmte Handlung, die an einem Inhalt mit einer bestimmten Komplexität ausgeführt wird, also durch ein Tripel (z. B. (H3, I2, K2)).

Beispiel:   

Eine spezifische Kompetenz ist die Fähigkeit zur Interpretation (Handlungs­bereich H3) von Inhalten aus der Statistik (Inhaltsbereich I4), wobei mehrere Fakten/Zusammenhänge/Darstellungen/Handlungen miteinander in Verbindung gebracht werden müssen (Komplexitätsbereich K2).


2. Mathematische Standards für die 8. Schulstufe

Mathematische Standards meinen jene Teilmenge denkbarer mathematischer Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der Sekundarstufe 1 in der Regel entwickelt und im Sinne der Anknüpfbarkeit auch längerfristig verfügbar haben sollten. Aus der Erwartung der längerfristigen Verfügbarkeit ergibt sich, dass eben nur ein Teil all jener im Mathematik­unterricht erworbenen Kompetenzen als Standard erwartet werden kann.

Somit drücken Standards auch einen erwarteten nachhaltigen Ertrag des mathematischen Lernprozesses aus, wobei bei „Längerfristigkeit“ immer auch zu bedenken ist, dass das Ausmaß verfügbarer Kompetenzen nach Ende des Lernprozesses mit der Zeit natürlich abnimmt. Die Abnahmegeschwindigkeit wird auch von der Notwendigkeit und Brauchbarkeit solcher Kompetenzen in der weiteren Schullaufbahn oder im Beruf abhängen (siehe Anknüpfbarkeit).

Die Auswahl, Konkretisierung und Festlegung dieser mathematischen Standards orientiert sich am eingangs dargelegten bildungstheoretischen Rahmen unter Bedachtnahme auf den zur Zeit gültigen Lehrplan. Ihre Beschreibung erfolgt entlang der Dimensionen des zuvor beschriebenen Modells mathematischer Kompetenzen.

Standards werden im folgenden Teil durch charakteristische Ausprägungen bestimmter Bereiche der drei Dimensionen des Kompetenzmodells beschrieben.

 

Bereiche der Handlungsdimension

Mathematisches Arbeiten umfasst vielfältige originär mathematische (Denk-)Tätigkeiten, die meist eng miteinander vernetzt sind bzw. aufeinander bezogen werden müssen. Zur Beschreibung und zur Messung mathematischer Kompetenzen ist die Festlegung typischer Ausprägungen nötig, auch wenn sie im Denk- und Problemlöseprozess nicht isoliert von­einander auftreten. Für die Verfügbarkeit und den erfolgreichen Einsatz solcher mathematischer Kompetenzen spielen auch verschiedene außermathematische Aspekte eine wichtige Rolle, wie etwa Methodenkompetenz, personale Kompetenzen und Einstellungen. Zur Kommunikation über mathematische Probleme und ihre Lösung gehört auch eine adäquate Dokumentation der ausgeführten Handlungen.

Für die mathematischen Standards am Ende der 8. Schulstufe wurden, wie schon beim Kompetenzmodell ausgeführt, die folgenden vier zentralen mathematischen Tätigkeiten bzw. Tätigkeitsbereiche identifiziert und als gleich bedeutsame Handlungsbereiche festgehalten:

H1 Darstellen, Modellbilden

Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematisierbarer Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation bzw. Repräsentationsform.

Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem ge­geben Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen (um diese dann in mathematischer Form darzu­stellen), allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vorzunehmen u. Ä.

Charakteristische Tätigkeiten sind z. B.:

  • alltagssprachliche Formulierungen in die Sprache/Darstellung der Mathematik übersetzen
  • problemrelevante mathematische Zusammenhänge identi­fizieren und mathematisch darstellen
  • ein für die Problemstellung geeignetes mathematisches Modell verwenden oder entwickeln
  • verschiedene mathematische Modelle für ein Problem ent­wickeln und ihre Problemadäquatheit abwägen
  • geeignete Darstellungsformen oder Technologien auswählen
  • einen gegebenen mathematischen Sachverhalt in eine andere (tabellarische, grafische, symbolische, rekursive oder werkzeugspezifische) Darstellungsform übertragen; zwischen Darstellungen oder Darstellungsformen wechseln
  • komplexe Probleme modularisieren
H2 Rechnen, Operieren

Rechnen im engeren Sinn meint die Durchführung numerischer Rechenoperationen, Rechnen in einem weiteren Sinn meint regelhafte Umformungen symbolisch dargestellter mathe­matischer Sachverhalte.

Operieren meint allgemeiner und umfassender die Planung sowie die korrekte, sinnvolle und effiziente Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen und schließt z. B. geometrisches Konstruieren oder auch das Arbeiten mit bzw. in Tabellen und Grafiken mit ein.

Rechnen/Operieren schließt immer auch die verständige und zweckmäßige Auslagerung operativer Tätigkeiten an die verfüg­bare Technologie mit ein.

Charakteristische Tätigkeiten sind z. B.:
  • numerische Rechenverfahren durchführen (z. B. Rechnen mit Dezimalzahlen, Brüchen, Potenzen usw.)
  • elementare Rechenoperationen in den jeweiligen Inhalts­bereichen planen und durchführen
  • Ergebnisse abschätzen, sinnvoll runden, näherungsweise rechnen
  • mit und in Tabellen oder Grafiken operieren
  • geometrische Konstruktionen durchführen
  • beim Operieren zwischen verschiedenen Lösungswegen ent­scheiden
H3 Interpretieren

Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im je­weiligen Kontext zu deuten.

Charakteristische Tätigkeiten sind z. B.:
  • Werte aus Tabellen oder grafischen Darstellungen ablesen, sie im jeweiligen Kontext deuten
  • tabellarisch, grafisch oder symbolisch gegebene Zusammen­hänge erkennen beschreiben und im jeweiligen Kontext deuten
  • Zusammenhänge und Strukturen in Termen, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen erkennen, sie im Kontext deuten
  • mathematische Begriffe oder Sätze im jeweiligen Kontext deuten
  • Rechenergebnisse im jeweiligen Kontext deuten
  • tabellarische, grafische oder auch symbolische Rechner­darstellungen angemessen deuten
  • zutreffende und unzutreffende Interpretationen erkennen
H4 Argumentieren, Begründen

Argumentieren meint die Angabe von mathematischen Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Argumentieren erfordert eine korrekte und adäquate Verwendung mathematischer Eigenschaften/Beziehungen, mathe­matischer Regeln sowie der mathematischen Fachsprache.

Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt.

Charakteristische Tätigkeiten sind z. B.:
  • mathematische Argumente nennen, die für oder gegen die Verwendung eines bestimmten mathematischen Begriffs, eines Modells, einer Darstellung oder eines bestimmten Lösungswegs bzw. für oder gegen eine bestimmte Lösung oder Interpretation sprechen
  • die Entscheidung für eine mathematische Handlung oder eine mathematische Sichtweise problembezogen argumentativ belegen
  • mathematische Vermutungen formulieren und begründen (aufgrund deduktiven, induktiven oder analogen Schließens)
  • mathematische Zusammenhänge (Formeln, Sätze) herleiten oder beweisen
  • zutreffende und unzutreffende mathematische Argumen­tationen bzw. Begründungen erkennen; begründen, warum eine Argumentation oder Begründung (un-)zutreffend ist

Bereiche der Inhaltsdimension

Die Inhalte wurden unter Bedachtnahme auf den derzeit gültigen Lehrplan ausgewählt und nach innermathematischen Gesichtspunkten zu den folgenden vier Inhaltsbereichen zusammengefasst. Die Auswahl dieser Bereiche bedeutet eine Schwerpunktsetzung und garantiert nicht, dass die Zuordnung eines Inhaltes zu einem dieser Bereiche eindeutig ist.

I1 Zahlen und Maße
Verschiedene Zahlen und Maße (insbesondere auch in lebens­praktischen Anwendungen); konkret: 
  • natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahlen
  • Bruch- und Dezimaldarstellung rationaler Zahlen; Potenz­schreibweise (mit ganzzahligen Exponenten), Wurzeln
  • Rechenoperationen, Rechengesetze und -regeln
  • Anteile, Prozente, Zinsen
  • Maßeinheiten (für Längen, Flächeninhalte, Volumina, Massen, Zeiten und zusammengesetzte Größen)
I2 Variable,
funktionale Abhängigkeiten

Variable, Terme und (Un-)Gleichungen; verschiedene Darstellungen funktionaler Zusammenhänge; konkret:

  • Variable und Terme
  • einfache Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen
  • lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
  • verbale, tabellarische, grafische und symbolische Darstellung funktionaler Zusammenhänge; lineare Funktionen; direkte und indirekte Proportionalität
I3 Geometrische Figuren und Körper

Grundlegende geometrische Begriffe; einfache geometrische Figuren und Körper, deren Eigenschaften und Darstellung (Zeichnung, Konstruktion); konkret:

 

  • Punkt, Gerade, Ebene; Strecke, Winkel; Parallele, Normale
  • Symmetrie, Ähnlichkeit
  • Dreiecke, Vierecke, Kreis
  • Würfel, Quader, Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel, Kugel
  • Satz von Pythagoras
  • Umfangs-, Flächen-, Oberflächen- und Volumsformeln
I4 Statistische Darstellungen und Kenngrößen

Tabellarische und grafische Darstellungen statistischer Daten; Zentralmaße und Streuung; konkret:

 

  • tabellarische Darstellung statistischer Daten
  • Stabdiagramm, Kreisdiagramm, Streifendiagramm, Pikto­gramm, Liniendiagramm; Streudiagramm
  • absolute und relative Häufigkeiten
  • arithmetisches Mittel, Median, Quartile
  • Spannweite, Interquartilabstand

Bereiche der Komplexitätsdimension

Mathematische Anforderungen bzw. die zu ihrer Bewältigung erforderlichen Kompetenzen können sich nicht nur hinsichtlich der erforderlichen Handlung und hinsichtlich des mathematischen Inhalts, sondern sehr wesentlich auch hinsichtlich ihrer Komplexität unterscheiden.

Manche Problemstellungen erfordern lediglich die direkte Anwendung eines Begriffes, Satzes oder Verfahrens bzw. die Ausführung einer elementaren mathematischen Tätigkeit. Andere Aufgabenstellungen hingegen verlangen eine geeignete Kombination und Vernetzung mehrerer mathematischer Begriffe, Sätze oder Tätigkeiten. Wieder andere Aufgaben erfordern ein Nachdenken über Eigenschaften und Zusammenhänge, die am gegebenen mathematischen Sachverhalt nicht unmittelbar erkennbar sind.

Die Komplexität beeinflusst die objektive Anforderung einer Aufgabe, sie ist jedoch zu unterscheiden von deren psychometrischen Schwierigkeit (relativen Lösungshäufigkeit).

Die Komplexitätsdimension der mathematischen Standards versucht diesen unterschiedlichen Komplexitätsanforderungen Rechnung zu tragen; sie umfasst folgende drei Bereiche:

K1 Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten

Einsetzen von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten meint die Wiedergabe oder direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen, Verfahren und Darstellungen.

In der Regel ist nur reproduktives mathematisches Wissen und Können oder die aus dem Kontext unmittelbar erkennbare direkte Anwendung von Kenntnissen bzw. Fertigkeiten erforderlich.

K2 Herstellen von Verbindungen

Herstellen von Verbindungen ist erforderlich, wenn der mathematische Sachverhalt und die Problemlösung viel­schichtiger sind, so dass mehrere Begriffe, Sätze, Verfahren, Darstellungen bzw. Darstellungsformen (aus verschiedenen mathematischen Gebieten) oder auch verschiedene mathe­matische Tätigkeiten in geeigneter Weise miteinander verbunden werden müssen.

K3 Einsetzen von Reflexionswissen; Reflektieren

Reflektieren meint das Nachdenken über Zusammenhänge, die aus dem dargelegten mathematischen Sachverhalt nicht unmittelbar ablesbar sind.

Reflektieren umfasst das Nachdenken über
  • eine mathematische Vorgehensweise (Lösungsweg bzw. Lösung; Alternativen),
  • Vor- und Nachteile sowie Konsequenzen von Darstellungen/ Darstellungsformen bzw. von mathematische Modellen (Modellannahmen, Idealisierungen, Aussagekraft, Grenzen des Modells, Modellalternativen) im jeweiligen Kontext,
  • Interpretationen, Argumentationen oder Begründungen.

Reflexionswissen ist ein anhand entsprechender Nachdenk­prozesse entwickeltes Wissen über Mathematik.

Reflexion/Reflexionswissen kann in vielfältiger Weise sichtbar werden: durch Dokumentation von Lösungswegen, durch entsprechende Entscheidungen, oft aber auch durch entsprechende Argumentationen und Begründungen.